công thức moa vrơ
III/ Phương pháp: Phương pháp gợi mở + vấn đáp + Nêu và giải quyết vấn đề đan xen hoạt động nhóm IV/ Tiến trình: 1/ Ổn định tổ chức: Kiểm danh, kiểm tra tác phong học sinh 2/ Kiểm tra bài cũ:
Từ công thức Moa - vrơ, dễ thấy số phức z rc i r os + sin , 0 có căn bậc hai là os + sin 2 2 rc i và os + sin os( + )+ sin( ) . 2 2 2 2 rc i r c i Để nắm được các kiến thức trên học sinh cần phải luyện tập khá nhiều bài tập, xin chú ý để
Công thức Moa-vrơ và ứng dụng. Công thức: [r(cosφ + isinφ)] n = r n (cosnφ + isinnφ). Khi r = 1 thì: (cosφ + isinφ) n = cosnφ + isinnφ. Công thức Moa-vrơ được ứng dụng: a) Tính cos3x, sin3x theo sinx, cosx. Ta có (cosx + isinx) 3 = cos 3 x - 3cosxsin 2 x + i(3cos 2 xsinx - sin 3 x).
Trương Tam Phong Dị Giới Du , chương 307 của tác giả Tả Tự Bản cập nhật mới nhất, full prc pdf ebook, hỗ trợ xem trên thiết bị di động hoặc xem trực tuyến tại sstruyen.vn.
Bạn đang xem nội dung tài liệu Giáo án Giải tích: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên. Ch432417ngIV 654473.dang lg so phuc va ung dung.doc.
Theo công thức Moa-vrơ ta có: (cosα+i sinα ) 4 =cos4α+i sin4 α <=>(cos 4 α-6 sin 2 α . cos 2 α+sin 4 α )+4(cos 3 α sinα-sin 3 α.cosα )i=cos4α+i sin4α
Vay Tiền Nhanh Chỉ Cần Cmnd Nợ Xấu. cosϕ + = cosnϕ + dụng vào lượng giác Ta cócosϕ + = cos3ϕ + khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta đượccosϕ + = cos3ϕ + 3cos2ϕ. + 3cosϕ. + đó, suy racos3ϕ = cos3ϕ − = 4cos3ϕ − 3cosϕ,sin3ϕ = − sin3ϕ = 3sinϕ − bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Số phức z = rcosϕ + r > 0 cóhai căn bậc hai là ϕϕϕϕϕϕr cos + ÷ và − r cos + ÷ = r cos + π ÷+ + π ÷ .22222 2B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUANĐ1. SỐ PHỨCD¹ng to¸n 1Số phức và thuộc tính của nóPhương phápVới số phức z = a + bi, các dạng câu hỏi thường được đặt ra làDạng 1 Xác định phần thực và phần ảo của số phức z. Khi đó, ta có ngay Phần thực bằng a. Phần ảo bằng ý Một câu hỏi ngược là "Khi nào số phức a + bi là số thực, số ảo hoặc bằng 0",khi đó ta sử dụng kết quả trong phần chú ý sau định nghĩa 2 Hãy biểu diễn hình học số phức zKhi đó, ta sử dụng điểm Ma; b để biểu diễn số phức z trên mặt phẳng ý Một câu hỏi ngược là "Xác định số phức được biểu diễn bới điểm Ma; b", khiđó ta có ngay số z = a + 3 Tính mơđun của số phức z, khi đó, ta có ngay z = a2 + b2 .Dạng 4 Tìm số đối của số phức z, khi đó, ta có ngay −z = −a − 5 Tìm số phức liên hợp của z, khi đó, ta có ngay z = a − định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một tam giác đều có tâm là gốc toạ độO trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số −i. GiảiGiả sử tam giác đều ABC như trong hình vẽ thỏa mãn điều kiện đầu bài, khi đó giảsử đỉnh A0; −1 biểu diễn số phức − a 3Gọi a là độ dài cạnh ABC, ta có .= AO = 1 ⇔ a = 2Từ đó suy ray3 131; ÷ Đỉnh B −BC÷ là số phức z B = − 2 + 2 i. 2 2Ox 3 13 1; ÷ Đỉnh C làsốphứczC =+ i.÷2 2−1 A 2 2Dạng 6 Tìm số phức nghịch đảo của z, khi đó, ta có ngay z−1 =D¹ng to¸n 2Phương phápCác phép tốn về số phức Sử dụng định nghĩa cùng với tính chất của các phép tốn cộng, trừ nhân, chia trêntập số ta có các hằng đẳng thức a + bi a − bi = .a2 + b2 = a2 − bi2 = 14 2 + bi2 = a2 − b2 + 2abi;a − bi2 = a2 − b2 − 2abi.a + bi3= a3 − 3a + 3a2b − b3i; a − bi3= a3 + 3a − 3a2b + b3 phần thực phần ảo của số phức z = x + iy2 – 2x + iy + 5 với x, y ∈ ¡ .Với x, ynào thì số phức đó là số thực ? Giảia. Ta biến đổiz = x2 + 2xyi − y2 – 2x + 2yi + 5 = x2 − y2 − 2x + 5 + 2yx − 1 nó có phần thực bằng x2 − y2 − 2x + 5 và phần ảo bằng 2yx − 1.b. Số phức đã cho là số thực điều kiện là2yx − 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc y = 2i 1− i+Tìm phần thực phần ảo và mơđun của số phức z =.1− i 3− 2i GiảiTa có thể trình bày theo hai cách sauCách 1 Ta biến đổi3+ 2i1+ i 1− i3 + 2i1+ 5i 5 − i23 63+++ 2623634498Vậy nó có phần thực bằng, phần ảo bằngvà môđun 2 Ta biến đổi3+ 2i3− 2i + 1− i213− 2i13− 2i1+ 5iz===1− i3− 2i1− 5i26123 6323+ 63i =+ i.=2626 2623634498Vậy nó có phần thực bằng, phần ảo bằngvà mơđun điểm biểu diễn các số phức saua. z =2+ i2+22−i .b. z =2+ i −3 Giảia. Ta có thể trình bày theo các cách sauCách 1 Ta biến đổiz=2+ i2+2−i2= 2 + 2i 2 + i2 + 2 − 2i 2 + i2 = điểm M2; 0 biểu diễn số phức 2 Ta biến đổiz=2+ i2+ i22+2−i2−i22= 2 +i+2 – i2 − 2 2 + i 2 – i= 8 − 22 − i2 = điểm M2; 0 biểu diễn số phức 3 Ta biến đổiz=+= 2 + i − 2 + i2 + 2 2 + i2 – i= 4i + 22 − i = điểm M2; 0 biểu diễn số phức Ta có thể trình bày theo các cách sauCách 1 Ta biến đổi2z=2 332 + i − 2 − i = 2 2 + 6i + 3i 2 2 + i3 − 2 2 − 6i + 3i 2 2 − i3= 12i + 2i3 = 12i − 2i = 10i.32−i . Vậy, điểm N0; 10 biểu diễn số phức 2 Ta biến đổiz=2+ i −32− i3= 2 + i – 2 + i3 + 3 2 + i 2 – i 2 + i –= 8i3 + 6i2 − i2 = −8i + 18i = điểm N0; 10 biểu diễn s phc toán 32 + iChng minh tich cht của số phứcPhương phápSử dụng các phép toán trên tập số phức cùng những tính chất của minh rằng phần thực của số phức z bằng z + z , phần ảo của số phức z bằng21z – z .2i GiảiVới số phức z = a + bi a, b∈ ¡ , ta có111z + z = a + bi + a + bi = a + bi + a − bi = a − là phần thực của – z = a + bi − a + bi −i = b − là phần ảo của A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z ≠ 0 và z' =Chứng minh rằng OAB là vuông cân O là gốc toạ độ.1+ GiảiTa lần lượt cóuuurOA = OA = z ,uuur1+ i1+ iz =z = 2 z ,OB = OB =222uuuruuur uuur1+ i−1+ iz− z =z = 2 z .AB = AB = OB − OA =222Từ đó, suy ra OB = AB và22 2 2 OB + AB = z +z = z 2 = OA2 ⇔ OAB là vuụng cõn ti B. 2 ữữ 2 ữữ 22Dạng to¸n 4Tập hợp điểmPhương phápCâu hỏi thường được đặt ra là "Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểudiễn các số phức z thỏa mãn điều kiện K".Khi đóDạng 1 Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài mơđun. Khi đó, ta sử dụng cơngthức z = a2 + b2 .Dạng 2 Số phức z là số thực thực âm hoặc thực dương, số ảo. Khi đó, ta sử dụng kếtquảa. Để z là số thực điều kiện là b = Để z là số thực âm điều kiện làa 0.b = 0d. Để z là số ảo điều kiện là a = 0. Chú ý Để tăng độ khó cho yêu cầu về tập hợp điểm, bài toán thường được cho dướidạng một biểu thức định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho z2a. Là số Là số thực Là số thực Có mơđun bằng 1. GiảiVới số phức z = x + yi x, y∈ ¡ , ta cóz2 = x + yi2 = x2 − y2 + Để z2 là số ảo điều kiện làx − y = 0x2 − y2 = 0 ⇔ x − yx + y = 0 ⇔ .x + y = 0Vậy, tập hợp điểm các điểm M thuộc hai đường phân giác của góc giữa trục thực,trục Để z2 là số thực dương điều kiện là x2 − y2 > 0x ≠ 0⇔.y = 0 xy = 0Vậy, tập hợp điểm M thuộc trục Ox trục thực trừ gốc Để z2 là số thực âm điều kiện là x2 − y2 3và sinϕ =⇒ chọn ϕ = .232ππTừ đó, suy ra z = 2 cos + ÷ và khi đó33 πππ π z = 2 cos − ÷ = 2 cos − ÷+ − ÷ ;33 3 3ππππ4π4π –z = −2 cos + ÷ = 2 − cos − ÷ = 2 cos + ÷;33333311 ππ1ππ1z = .2 cos + ÷ = cos + ÷;=4 33233 ππnÕuk > 02k cos 3 + 3 ÷ kz = . −2k cos4π + 4π nÕuk 0 và là ϕ + π nếu k 0 krcosϕ + = . − kr[cosϕ + π + + π] nÕuk < 0Cho hai số phức z1 = 1 + i và z 2 = 3 + i .a. Tìm dạng lượng giác của z1, Sử dụng kết quả trong a tính z1z 2 , z .2 Giảia. Ta lần lượt có1 1ππ+i ÷ = 2 cos + ÷ ,z1 = 1 + i = 2 442 2 3 1 ππ+ i÷= 2 cos + ÷.z 2 = 3 + i = 2 ÷66 2 2 b. Ta lần lượt có π π5π5π π π z1z 2 = cos + ÷+ + ÷ = 2 2 cos + ÷ ,1212 4 6 4 6z12 π π2ππ π π =cos − ÷+ − ÷ =cos + ÷.z22 4 62 1212 4 6 Chú ý Nếu thực hiện các phép tốn trên dưới dạng đại sốa. Ta có 3 − 1 + 3 − 1 3 + 1 2+iz1z 2 = 1 + i=23 +i =3 +1 i 2 22 2 3 −15π 3 + 15π= cos ,= sin .từ đó, suy ra12122 22 2b. Ta có 1 + i 3 − i 1 z11+ i===z2443+i= 3 +1 + i 2 3 −12 2 3 +1+2 44từ đó, suy ra24 = cos π , 2 3 +1123 −1 i = sin π .3 −1412
Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ Moivre để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi thêm + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phứcPhương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$. + Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt r \\ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in Z \end{array} \right.$ Từ đó suy ra Số phức $z = rc{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ có $2$ căn bậc hai là ${{\rm{w}}_1} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right$ và ${{\rm{w}}_2} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right + i \sin \left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right} \right$ $ = – \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right.$2. Tính căn bậc $n$ của số phức Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$. Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^n} = z \Leftrightarrow {R^n}c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta $ $ = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^n} = r\\ n\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt[n]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}, k \in Z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là ${w_1} = \sqrt[n]{r}\left {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin \frac{\varphi }{n}} \right.$ ${w_2}$ = $\sqrt[n]{r}\left {\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right} \right.$ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right$ $ + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right.$ [ads] Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${\rm{w}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left {\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi } \right$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}.$Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + i\sqrt 3 .$Ta có $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right$ $ = 2\left {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right.$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = \sqrt[3]{2}$ và một acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $\varphi $ có ba giá trị ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\varphi _3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $w = – 1 + i\sqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{2\pi }}{9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right$, ${z_3} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} \right.$Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$Ta có $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $\theta = \frac{\pi }{2}.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = 1$ và một acgumen $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $\varphi$ ${\varphi _1} = \frac{\pi }{8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\varphi _4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$
I/ Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh- Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức- Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức- Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác- Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó+ Về kĩ năng - Biết tìm acgumen của số phức- Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức- Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác- Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a , cos3a + Về tư duy và thái độ- Rèn luyện tư duy lô gíc giữa số thực và số phức- Biết qui lạ về quen trong tính toán - Thấy được cái hay của số phức thông qua ứng dụng và thực tiễn- Rèn luyện tính cẩn thận , hợp tác trong học tập Bạn đang xem tài liệu "Giáo án Tiết 79-80 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênNgày soạn 07/04/2009 Tiết 79-80 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC & ỨNG DỤNG I/ Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó + Về kĩ năng Biết tìm acgumen của số phức Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a , cos3a + Về tư duy và thái độ Rèn luyện tư duy lô gíc giữa số thực và số phức Biết qui lạ về quen trong tính toán - Thấy được cái hay của số phức thông qua ứng dụng và thực tiễn Rèn luyện tính cẩn thận , hợp tác trong học tập II/ Chuẩn bị + Giáo viên Máy tính cầm tay + Bảng phụ vẽ các hình biểu diễn số phức. + Học sinh Xem trước bài dạy và chuẩn bị các câu hỏi cần thiết. Chuẩn bị MTCT III/ Phương pháp Phương pháp gợi mở + vấn đáp + Nêu và giải quyết vấn đề đan xen hoạt động nhóm. IV/ Tiến trình 1/ Ổn định tổ chức Kiểm danh , kiểm tra tác phong học sinh 2/ Kiểm tra bài cũ 5 phút Câu hỏi Giải phương trình bậc 2 sau trên C z2 + 2z + 5 = 0 1 Gọi 1 học sinh lên bảng giải; cả lớp theo dõi. 1 z + 12 = - 4 . Vậy z = - 1 2i Cho 1 học sinh nhận xét. Giáo viên nhận xét , chỉnh sửa và đánh giá cho điểm. 3/Bài mới Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng T1 HĐ1 Số phức dưới dạng lương giác 15’ HĐ1 Acgumen của số phức z0 - Nêu định nghĩa 1 H1? Số phức z0 có bao nhiêu acgumen ? Quan sát hình vẽ ở bảng phụ. Tiếp thu định nghĩa. 1/Một học sinh quan sát trên hình vẽ nhận xét trả lời. là 1acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng + k2. 1/ Số phức dưới dạng lượng giác a/ Acgumen của số phức z0 ĐN 1 Cho số phức z 0. Gọi M là điểm trong mp phức biểu diễn số phức z. Số đo rad của mỗi góc lượng giác tia đầu 0x,tia cuối 0M được gọi là một acgumen của z Nêu VD1SGK a/ Tìm acgumen của số thực dương tùy ý. b/ Tìm acgumen của số thực âm tùy ý. c/ Tìm acgumen của số 3i, -2i, 1 + i. Dùng hình vẽ minh họa và giải thích. HĐ2 Cho HS giải Biết số phức z 0 có 1acgumen ; Hãy tìm 1 acgumen của mỗi số phức sau ;. Gợi ý Dùng biểu diễn hình học của số phức để tìm acgumen của nó. 1 HS trả lời a/ Một acgumen là = 0 b/ Một acgumen là = 1 học sinh trả lời c/ . Cho 2 HS đứng tại chỗ trả lời HS 1 z biểu diễn bởi thì –z bởi -nên có acgumen là HS 2 - có - có cùng acgumen với Chú ý SGK Tóm tắt lời giải VD1 Tóm tắt lời giải của HĐ2 20’ HĐ2 Dạng lượng giác của số phức . HĐ1 Từ hình vẽ giáo viên dẫn dắt đến định nghĩa 2 H? Để tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi khác 0 ta cần làm những bước nào? Nêu VĐ2 SGK Cho cả lớp giải sau đó gọi từng HS trả lời. Gợi ý Tìm r,. Nêu chú ý SGK Nêu VĐ3 SGK Hướng dẫn đọc VĐ3 HS tiếp thu ĐN2 HS trả lời a/ Tìm r , r = 2/ Tìm thỏa 1 HS đứng tại chỗ giải số 2 2cos 0 + i sin 0 số -2 2 số i số 1 + i số 1 - 2 b/ Dạng lượng giác của số phức z = rcos, trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z dạng z = a + bia,bR được gọi là dạng đại số của số phức z Tóm tắt các bước tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi 1/ Tìm r 2/ Tìm Tóm tắt lời giải VD2 HĐ2 Cho z = rcos +isin r > 0. Tìm môđun và acgumen của từ đó suy ra dạng lượng giác của Cả lớp giải theo nhóm. 1 nhóm đại diện trình bày Tóm tắt lời giải hoạt động 2. 5’ HĐ3 Củng cố T1 H1 acgumen của số phức H2 Dạng LG của z H3 Nêu các bước biễu diễn số phức z = a + bi Vậy = gọi 3 HS trả lời TI ẾT 2 T2 HĐ 3 Nhân và chia số phức dưới dạng LG 15’ Từ HĐ2 ĐL hướng dẫn HS c/m ĐL tìm = ? HĐ2 Nêu vd4 Tìm H? Thực hiện phép chia này dưới dạng đại số HS tiếp thu ĐL 1HS đúng tại chỗ giải 1+i = + i = 2 = 2/ Nhân và chia số phức dưới dạng LG ĐL sgk Tóm tắt lời giải vd4 15’ HĐ4 Công thức Moa-vrơ và ứng dụng HĐ1 Nêu công thức Moa- vrơ HĐ2 Nêu vd5 Tính 1+i5 HD giải HĐ3 Nêu ứng dụng H1 khai triển cos + i sin3 H2 công thức Moa -vrơ H3 từ đó suy ra , HĐ4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Tính căn bậc hai của Z = rcos + i sin với r > 0 HS tiếp thu công thức 1HS giải 1+i5 = 5 = 5 =4- = - 4 1 + i HS1 Trả lời HS2 Trả lời HS3 Đi đến KL 1 HS trả lời Và - = 3/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng a/Công thức Moa- vrơSGK rcosn= rncosn+isinn Xét khi r = 1 b/ứng dụng và lời giải c/Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác 5’ HĐ5 củng cố T2 + Nêu các phép toán nhân chia của số phức dưới dạng LG + Nêu CT Moa – vrơ + Tính + i 6 1 HS tính = [2cos ]6 =26cos+ isin = - 26 4 Củng cố toàn bài 10’ cho 4 nhóm làm mỗi nhóm 1 câu trong 5’ - Đại diện từng nhóm trả lời Câu 1 Tìm acgumen của số phức z = 1 + i KQ 1 acgumen là = Câu 2 Tìm dạng LG của só phức z = 1 + i KQ z = Câu 3 tính 1 - i 1+i KQ Câu 4 Tính KQ - 5 Hướng dẫn Sử dụng máy tính chuyển từ dạng đại số sang dạng LG của số phức . Đọc chú ý trang 206/ SGK Bài tập về nhà 32 đến 36 trang 207 Phụ lục Bảng phụ cho hình vẽ , , , sgk Tài liệu đính kèmTIET 79-80 dang lg so phuc va ung
Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó + Về kĩ năng Biết tìm acgumen của số phức Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a... Chủ đề đại số 12tài liệu đại số 12giáo án đại số 12bải giảng đại số 12lý thuyết đại số 12 Nội dung Text DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC & ỨNG DỤNG DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC & ỨNG DỤNG I/ Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức - Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức - Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác - Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó - + Về kĩ năng Biết tìm acgumen của số phức - Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức - Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác - Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a , cos3a - + Về tư duy và thái độ Rèn luyện tư duy lô gíc giữa số thực và số phức - Biết qui lạ về quen trong tính toán - Thái độ thấy được cái hay của số phức thông qua ứng dụng và thực tiễn - Rèn luyện tính cẩn thận , hợp tác trong học tập - II/ Chuẩn bị + Giáo viên Máy tính cầm tay + Bảng phụ vẽ các hình biểu diễn số phức. + Học sinh Xem trước bài dạy và chuẩn bị các câu hỏi cần thiết. Chuẩn bị MTCT III/ Phương pháp Phương pháp gợi mở + vấn đáp + Nêu và giải quyết vấn đề đan xen hoạt động nhóm. IV/ Tiến trình 1/ Ổn định tổ chức Kiểm danh , kiểm tra tác phong học sinh 2/ Kiểm tra bài cũ 5 phút Câu hỏi Giải phương trình bậc 2 sau trên C z2 + 2z + 5 = 0 1 Gọi 1 học sinh lên bảng giải; cả lớp theo dõi. 1 z + 12 = - 4 . Vậy z = - 1 2i Cho 1 học sinh nhận xét. Giáo viên nhận xét , chỉnh sửa và đánh giá cho điểm. 3/Bài mới Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng Tg T1 HĐ1 Số phức dưới dạng lương giác HĐ1 Acgumen của số Quan sát hình vẽ ở bảng 1/ Số phức dưới 15’ phức z 0 phụ. dạng lượng giác - Nêu định nghĩa 1 Tiếp thu định nghĩa. a/ Acgumen của số phức z 0 H1? Số phức z 0 có 1/Một học sinh quan sát ĐN 1 trên hình vẽ nhận xét trả Cho số phức z 0. bao nhiêu acgumen ? lời. Gọi M là điểm trong là 1acgumen của z thì mp phức biểu diễn số mọi acgumen của z có phức z. Số đo rad Nêu VD1SGK của mỗi góc lượng dạng + k2 . a/ Tìm acgumen của số giác tia đầu 0x,tia thực dương tùy ý. cuối 0M được gọi là 1 HS trả lời b/ Tìm acgumen của số một acgumen của z a/ Một acgumen là thực âm tùy ý. Chú ý SGK =0 c/ Tìm acgumen của số Tóm tắt lời giải VD1 b/ Một acgumen là 3i, -2i, 1 + i. = Dùng hình vẽ minh họa 1 học sinh trả lời và giải thích. c/ ,. , 224 HĐ2 Cho HS giải Biết số phức z 0 có 1acgumen ; Hãy tìm 1 Cho 2 HS đứng tại chỗ trả lời acgumen của mỗi số Tóm tắt lời giải của phức sau HS 1 z biểu diễn bởi HĐ2 1 OM thì –z bởi - z ; z ; z ; . z OM nên có acgumen là Gợi ý Dùng biểu diễn 2k 1 hình học của số phức để HS 2 - z có - tìm acgumen của nó. 2k 1 1 1 1 z 2 z có cùng z z. z z acgumen với z 20’ HĐ2 Dạng lượng giác của số phức . HĐ1 Từ hình vẽ giáo HS tiếp thu ĐN2 b/ Dạng lượng giác viên dẫn dắt đến định HS trả lời của số phức nghĩa 2 z = rcos i sin , a/ Tìm r , r = a 2 b 2 H? Để tìm dạng lượng 2/ thỏa trong đó r > 0 được Tìm giác của số phức gọi là dạng lượng a b cos , sin r r z = a + bi khác 0 ta cần giác của số phức z 1 HS đứng tại chỗ giải làm những bước nào? dạng số 2 2cos 0 + i sin 0 Nêu VĐ2 SGK z = a + bia,b R số -2 2 cos i sin Cho cả lớp giải sau đó được gọi là dạng đại số i cos i sin gọi từng HS trả lời. số của số phức z 2 2 i Tóm tắt các bước tìm Gợi ý Tìm r, . số 1 + dạng lượng giác của Nêu chú ý SGK i sin 2 cos 4 4 số phức z = a + bi Nêu VĐ3 SGK số 1 - 3i 1/ Tìm r Hướng dẫn đọc VĐ3 2 cos 2/ Tìm i sin 3 3 Tóm tắt lời giải VD2 Cả lớp giải theo nhóm. HĐ2 1 nhóm đại diện trình bày Tóm tắt lời giải hoạt Cho z = rcos +isin 1 1 động 2. z z r > 0. Tìm môđun và 1 1 1 1 a bi acgumen của từ đó 2 z z a bi a b 2 suy ra dạng lượng giác 1 1 1 z z 2 2 a b 1 của z 5’ HĐ3 Củng cố T1 1 Vậy = 2 H1 acgumen của số 1 Cos i sin phức r H2 Dạng LG của z gọi 3 HS trả lời H3 Nêu các bước biễu diễn số phức z = a + bi T2 HĐ 3 Nhân và chia số phức dưới dạng LG 15’ Từ HĐ2 ĐL 2/ Nhân và chia số HS tiếp thu ĐL hướng dẫn HS c/m ĐL phức dưới dạng LG ĐL sgk tìm = ? 1HS đúng tại chỗ giải z 1 z '. z' z 1+i = i sin 2 cos HĐ2 Nêu vd4 4 4 Tóm tắt lời giải vd4 1 i Tìm 3 + i = 2 cos i sin 6 6 3i H? Thực hiện phép 1 i 2 = 2 3i chia này dưới dạng đại i sin cos số 12 12 15’ HĐ4 Công thức Moa-vrơ và ứng dụng HĐ1 Nêu công thức HS tiếp thu công thức 3/ Công thức 1HS giải Moa- vrơ Moa-vrơ và ứng 1+i5 = dụng HĐ2 Nêu vd5 Tính 1+i5 5 a/Công thức 2 cos i sin 4 4 HD giải Moa- vrơSGK 5 5 = 2 5 cos i sin rcos i sin n= 4 4 rncosn +isinn 2 2 =4 2 - i 2 2 HĐ3 Nêu ứng dụng Xét khi r = 1 =-41+i H1 khai triển cos + i sin 3 b/ứng dụng và lời HS1 Trả lời H2 công thức Moa - giải HS2 Trả lời vrơ HS3 Đi đến KL từ đó suy ra H3 cos 3 , sin 3 c/Căn bậc hai của 1 HS trả lời số phức dưới dạng HĐ4 Căn bậc hai i sin r cos lượng giác của số phức dưới 2 2 dạng lượng giác Và - i sin r cos 2 2 Tính căn bậc hai của = Z = rcos + i sin r cos i sin với r > 0 2 2 5’ HĐ5 củng cố T2 + Nêu các phép toán nhân chia của số phức dưới dạng LG 1 HS tính + Nêu CT Moa – vrơ 6 = [2cos i sin ] 6 6 3 + i 6 + Tính =26cos + isin = - 26 4 Củng cố toàn bài 10’ cho 4 nhóm làm mỗi nhóm 1 câu trong 5’ - Đại diện từng nhóm trả lời Câu 1 Tìm acgumen của số phức z = 1 + 3 i KQ 1 acgumen là = 3 Câu 2 Tìm dạng LG của só phức z = 1 + i KQ z = 2 cos i sin 4 4 Câu 3 tính 1 - i 3 1+i KQ 2 2 cos i sin 12 12 i 2008 Câu 4 Tính 1 i 1 KQ - 1004 2 5 Hướng dẫn Sử dụng máy tính chuyển từ dạng đại số sang dạng LG của số phức . Đọc chú ý trang 206/ SGK Bài tập về nhà 32 đến 36 trang 207 Phụ lục Bảng phụ cho hình vẽ , , , sgk
3. Tiến trình bài học Nội dung Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ. Hoạt động 2 Công thức Moa-vrơ. Hoạt động 3 Ứng dụng vào lượng giác. Hoạt động 4 Căn bậc hai của số phức. Hoạt động 5 Củng cố bài học. Bài giảng chi tiết Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ Bạn đang xem nội dung Toán 10 - Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng, để tải tài liệu về máy bạn hãy click vào nút TẢI VỀDẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1. Mục tiêu Kiến thức - Nắm được công thức Moa-vrơ. - Ứng dụng công thức Moa-vrơ vào lượng giác và một số lĩnh vực khác. Kỹ năng - Biết cách vận dụng công thức Moa-vrơ vào lượng giác, tính luỹ thừa số phức, tính căn bậc hai.. Tư duy thái độ - Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác. - Rèn luyện tính toán, tư duy logic, tinh thần ham học hỏi, sáng tạo, chính xác. 2. Chuẩn bị của Giáo viên và Học sinh - Dụng cụ học tập, tài liệu học tập. - Một số bài tập ứng dụng - Phương pháp dạy học truyền thống thuyết trình, trực quan kết hợp gợi mở vấn đề. 3. Tiến trình bài học Nội dung Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ. Hoạt động 2 Công thức Moa-vrơ. Hoạt động 3 Ứng dụng vào lượng giác. Hoạt động 4 Căn bậc hai của số phức. Hoạt động 5 Củng cố bài học. Bài giảng chi tiết Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên - Lắng nghe, hiểu đề bài. - Làm bài, nhận xét bài bạn. - Lời giải Bài 1 z2 = zz = 3cos + i sin.3cos + i sin = 9cos + + i sin + = 9cos2 + i sin2 z3 = z z z = z2 z = 9cos2 + i sin 23cos2 + i sin = 27cos3 + i sin3 = 27cos + i sin Bài 2 W2 = rcos + i sin. rcos + i sin = r2 cos2 + i sin2. - Đưa ra bài tập, gọi Học sinh lên bảng. Yêu cầu học sinh khác làm Bài 1 Cho z = 3cos + i sin. Tính z2, z3. Bài 2 Cho w = rcos + i sin. Tính w2. - Nhận xét bài làm của Học sinh. - Đưa ra gợi ý nếu cần Luỹ thừa thực chất là phép nhân các thừa số giống nhau, như vậy nên sử dụng công thức nào? Hoạt động 2 Công thức Moa-vrơ Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên - Lắng nghe, hiểu nhiệm vụ, làm bài. w3 = w2 w = r2cos2 + i sin2rcos + i sin = r3cos3 + i sin3. w4 = w3 w = r3cos3 + i sin3rcos + i sin = r4cos4 + i sin4. - Modun của w2, w3, w4 lần lượt là luỹ thừa 2, 3, 4 của w. Argument của w2, w3, w4 lần lượt gấp 2, 3, 4 lần argument của w. Ghi nho CT wn = rncosn + i sinn 1 - Với n = 2 ta có W2 = r2 cos2 + i sin2. Lời giải 1+i = + = cos + i sin Áp dụng công thức Moa-vrơ 1+i = [cos + i sin]5 = 5cos5 + i sin 5 Vậy 1+i =5cos5 + isin5 Tiếp tục yêu cầu học sinh tính w3, w4. - Yêu cầu Học sinh so sánh modun, argument của w2, w3, w4 với w? - Liệu rằng chung ta co the tinh duoc Wn Khẳng đinh Bằng quy nạp người ta đã chứng minh được rằng công thức 1 là đúng. voi n = 2 ,3,4 ta da o tren Kết luận Công thức 1 được gọi là công thức Moa-vrơ. - Vận dụng công thức trên làm ví dụ sau VD Tính 1+i5 - Gợi ý Học sinh Muốn thực hiện công thức Moa-vrơ số phức phải có dạng nào? Vậy biểu diễn dạng lượng giác của số phức 1+i rồi tính kết quả. Kết luận Có thể tính luỹ thừa của một số phức bất kỳ dựa vào công thức Moa-vrơ. Hoạt động 3 Ứng dụng vào lượng giác Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên Nhóm 1 cos + i sin3 = cos3 + 3cos2 isin +3 i2 sin2 cos + isin3 = cos3 - 3sin2 cos + i3cos2sin - sin3 = 4cos3 - 3cos + i3sin - 4sin3 Nhóm2 cos + i sin3 = cos3 + i sin3 - Học sinh so sánh và rút ra kết luận cos3 = 4cos3 - 3cos 3 sin3 = 3sin - 4sin3 3’ -Chia nhóm Nhóm 1khai triển ct - cos + i sin3 ? -Nhóm2 áp dụng ct moa-vrơ tính cos + i sin3 -yêu cầu nhóm 1 và nhóm 2 so sánh kết quả Khẳng đinh Đây là hai cách biểu diễn khác nhau của cùng một số phức nên chúng phải bằng nhau. - Vậy ta có thêm 1cách biêu diễn cos3, sin3 qua cos, sin. Kết luận Tương tự bằng cách đối chiếu công thức khai triển luỹ thừa bậc n của cos + i sinn với công thức Moa-vrơ có thể biểu diễn cos n, sinn theo các luỹ thừa của cos, sin. Hoạt động 4 Căn bậc hai của số phức Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên Liên hệ kiến thức cũ. Suy nghĩ và phán đoán kết quả. W2 = r2 cos2 + i sin2. z = rcos + i sin = [cos + i sin]2. - Vậy z có 2 căn bậc hai là cos + i sin; -[cos + i sin] hay [cos + + i sin+] Lời giải z = - i = cos7 + i sin7 Khi đó z có hai căn bậc hai là cos7 + i sin7 và - cos7 + i sin7. Lời giải a. z = cos + i sin = cos+ i sin 2 Vậy z có hai căn bậc hai là cos+ i sin; - cos+ i sin b. z = + Đặt cos a = ; sin a = . Khi đó ta có z = cos a + isin a = [cos + isin ]2 Vậy z có hai căn bậc hai là [cos + isin ] và -[cos + isin ] - Yêu cầu Học sinh nhắc lại thế nào là căn bậc hai của 1 sô? 1 số có mấy căn bậc 2. Đối với số phức thì sao? - Cho w= rcos + i sin, w=- rcos + i sin, r> 0 tinh W2 cho z= rcos + i sin, r>0; Áp dụng công thức Moa-vrơ biểu diễn z thành bình phương của một số. Kết luận Ta có thể tìm căn bậc hai của một số phức theo công thức trên. VD Tìm căn bậc 2 của z = 1 – i Hướng dẫn Học sinh Viết z dưới dạng lượng giác. Áp dụng công thức đã nêu trên. - Gọi Học sinh lên bảng làm nếu còn thời gian Bài 1 Tìm căn bậc 2 của z biết a. z = 1 b. z = 3 + 4i Hoạt động 5 Củng cố bài học Tổng kết - Nhắc lại công thức Moa-vrơ - Cách tính luỹ thừa của một số phức - Cách tìm căn bậc hai của một số phức - Ứng dụng của công thức Moa-vrơ vào lượng giác. Bài tập về nhà - Bài 32 đến 36 Sách Giáo khoa. Hướng dẫn Học sinh làm bài nếu còn thời gian.
Sau đây Kiến thức Số phức xin thu thập lại các sĩ tử về Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức, thông tin được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luậnBài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ Moivre để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi thêm + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phứcPhương pháp1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa $w^2 = z$. + Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + Với $z ne 0$ và $z = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rcrm{os}theta + i sin theta $ với $R > 0$ thì ${rm{w}^2} = z$ ⇔ $R^2crm{os}2theta + i sin 2theta = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R^2 = r\ 2theta = varphi + k2pi , k in Z endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R = sqrt r \ theta = fracvarphi 2 + kpi , k in Z endarray right.$ Từ đó suy ra Số phức $z = rcrm{os}varphi + isin varphi $ có $2$ căn bậc hai là ${rm{w}_1} = sqrt r left c{rm{os}fracvarphi 2 + isin fracvarphi 2} right$ và ${rm{w}_2} = sqrt r left c{rm{os}left frac{varphi 2 + pi } right + i sin left frac{varphi 2 + pi } right} right$ $ = – sqrt r left c{rm{os}fracvarphi 2 + isin fracvarphi 2} right.$2. Tính căn bậc $n$ của số phứcCăn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa $w^n = z$. Với $z ne 0$ và $z = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rcrm{os}theta + i sin theta $ với $R > 0$ thì ${rm{w}^n} = z Leftrightarrow R^ncrm{osn}theta + i mathop{rm sinnnolimits} theta $ $ = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R^n = r\ ntheta = varphi + k2pi , k in Z endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R = sqrt[n]r\ theta = fracvarphi n + frac{k2pi }n, k in Z endarray right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là $w_1 = sqrt[n]rleft cos frac{varphi n + isin fracvarphi n} right.$ $w_2$ = $sqrt[n]rleft cos left {frac{varphi n + frac{2pi }n} right + isin left frac{varphi n + frac{2pi }n} right} right.$ ….. $w_n$ = $sqrt[n]rcos left frac{varphi n + frac{2pi n – 1}n} right$ $ + isin left frac{varphi n + frac{2pi n – 1}n} right.$adsbygoogle = [].push;Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $rm{w} = frac12 + frac{sqrt 3 }2i.$Ta có $w = frac12 + frac{sqrt 3 }2i = cos fracpi 3 + isin fracpi 3.$ Đặt $z = rleft cos varphi + isin varphi right$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có $z^2 = w$ ⇔ $r^2left cos 2varphi + isin 2varphi right$ $ = cos fracpi 3 + isin fracpi 3$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl r = 1\ 2varphi = fracpi 3 + k2pi ,k in Z endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl r = 1\ varphi = fracpi 6 + kpi ,k in Z endarray right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là $z_1 = cos fracpi 6 + isin fracpi 6$ và $z_2 = cos frac{7pi }6 + isin frac{7pi }6.$Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + isqrt 3 .$Ta có $w = – 1 + isqrt 3 = 2left – frac{12 + ifrac{sqrt 3 }2} right$ $ = 2left cos frac{{2pi }3 + isin frac{2pi }3} right.$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $theta = frac{2pi }3.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = sqrt[3]2$ và một acgumen $phi = fractheta 3 + frac{k2pi }3 = frac{2pi }9 + frac{k2pi }3,k in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $varphi $ có ba giá trị $varphi _1 = frac{2pi }9$, $varphi _2 = frac{2pi }9 + frac{2pi }3 = frac{8pi }9$, $varphi _3 = frac{2pi }9 + frac{4pi }3 = frac{14pi }9.$ Vậy $w = – 1 + isqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là $z_1 = sqrt[3]2left cos frac{{2pi }9 + isin frac{2pi }9} right$, $z_2 = sqrt[3]2left cos frac{{8pi }9 + isin frac{8pi }9} right$, $z_3 = sqrt[3]2left cos frac{{14pi }9 + isin frac{14pi }9} right.$Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$Ta có $w = i = cos fracpi 2 + isin fracpi 2$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $theta = fracpi 2.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = 1$ và một acgumen $varphi = fractheta 4 + frac{k2pi }4 = fracpi 8 + frac{kpi }2,k in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $varphi$ $varphi _1 = fracpi 8$, $varphi _2 = fracpi 8 + fracpi 2 = frac{5pi }8$, $varphi _3 = fracpi 8 + pi = frac{9pi }8$, $varphi _4 = fracpi 8 + frac{3pi }2 = frac{13pi }8.$
công thức moa vrơ
